04三重大・教育後期に次のような問題がある．夏期講習でもテキストに載せている．いい問題だと思う．
自然数1，2，3，…全体を二つ以上のグループに分けることを考える．ただし各グループは無限に多くの自然数を含み，それらが等差数列を成しているものとする．
(1) 各グループには，n, n+1のような連続する自然数が含まれないことを示せ．
(2) 自然数全体を二つのグループに分けるときの，その分け方を求めよ．
(3) 自然数全体を三つのグループA，B，Cに分けるものとし，1，3がAに，2がBにそれぞれ入っているものとする．このとき4，5，6がそれぞれどのグルーブに入るか述べ，それを証明せよ．
(4) 自然数全体を三つのグループに分けるときの，その分け方をすべて求めよ．
二つに分けるのは{2k-1}と{2k} に．三つに分けるのは，{2k-1}{4k-2}{4k}型，{4k-3}{4k-1}{2k}型．{3k-2}{3k-1}{3k}型の三通りになる．これは二つに分けるときの{2k-1}または{2k}をさらに2分割するか，または公差3の等差数列にするかである．
さて問題というのは次のことだ．自然数を無限等差数列のn個の集合に分ける方法がf(n)通りとする．f(1)=1，f(2)=1,f(3)=3 であるがこの一般項は求まるのだろうか．あるいは漸化式はできるのだろうか．nが素数なら求まるだろうか．これは無意味な一般化なのか，意味のある一般化なのか．あるいは解決ずみなのか．前から疑問なままである．写真は今年生まれたヤモリ．8/20夜．
